La ecuacion logaritmica

Una ecuación logarítmica

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita se encuentra en el argumento de logaritmos. Su resolución se reduce, en realidad, a la resolución de ecuaciones del estilo de las expresiones algebraicas de los argumentos (por ejemplo, ecuaciones de segundo grado, irracionales, bicuadradas, exponenciales, etc.). También podemos encontrar ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en la base de los logaritmos o en los exponentes de sus argumentos, pero nosotros no las resolveremos en esta página (salvo alguna excepción).

En esta página proporcionamos una colección de ecuaciones logarítmicas y sistemas resueltos, ordenada en orden creciente de dificultad. En la mayoría de los logaritmos no se especifica la base porque presuponemos que es 10, aunque debemos decir que en la mayoría de los textos científicos se considera, si no se indica lo contrario, que la base es $e$

(es decir, logaritmo natural).

Además, al final de la página demostramos las propiedades de los logaritmos: logaritmo del producto, del cociente, de la potencia y el cambio de base.

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Antes de comenzar con los ejercicios, recordamos la definición de logaritmo y sus propiedades:

$$lo{g}_b\left(a\right)=c\iff b^c=a$$

• Logaritmo del producto:
  $${\log }_b(x\cdot y)={\log }_b\left(x\right)+{\log }_b\left(y\right)$$

Logaritmo del cociente:
$${\log }_b\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_b\left(x\right)-{\log }_b\left(y\right)$$

Logaritmo de una potencia:
$${\log }_b\left(x^y\right)=y\cdot {\log }_b\left(x\right)$$

Cambio de base:
$${\log }_b\left(x\right)=\frac{{\log }_c\left(x\right)}{{\log }_c\left(b\right)}$$

Razonamiento esencial para resolver las ecuaciones:
$${\log }_b\left(x\right)={\log }_b\left(y\right)\Rightarrow x=y$$

Importante: el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo (ni negativo ni 0).